هر کدام از توابع زیر در چه بازههایی اکیداً صعودی و در چه بازههایی اکیداً نزولی هستند؟ (نمودارها شامل الف تا خ هستند.)
حل تمرین کار در کلاس صفحه 8 ریاضی
برای تعیین بازههایی که یک تابع **اکیداً صعودی** یا **اکیداً نزولی** است، باید جهت حرکت نمودار را هنگام حرکت از چپ به راست در نظر بگیریم.
* **صعودی:** با افزایش $x$، مقدار $y$ نیز افزایش یابد (نمودار رو به بالا باشد).
* **نزولی:** با افزایش $x$، مقدار $y$ کاهش یابد (نمودار رو به پایین باشد).
---
### الف) نمودار پلکانی (تابع چند ضابطهای)
* **اکیداً صعودی:** در بازه $(-\infty, 1)$ و بازه $(2, +\infty)$.
* در بازه $(1, 2)$، تابع ثابت است و نه صعودی اکید است و نه نزولی اکید.
* **اکیداً نزولی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً نزولی نیست.
---
### ب) نمودار $y = x^3$
* **اکیداً صعودی:** در کل دامنه، یعنی بازه $(-\infty, +\infty)$.
* **اکیداً نزولی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً نزولی نیست.
---
### پ) نمودار سهمی (مثل $y = x^2$)
* **اکیداً صعودی:** در بازه $,0 +\infty)$. $. (نقطه $x=0$ را میتوان در نظر گرفت زیرا در سمت چپ آن نزول پایان مییابد).
---
### ت) نمودار $y = a^x$ (تابع نمایی، $a>1$)
* **اکیداً صعودی:** در کل دامنه، یعنی بازه $(-\infty, +\infty)$.
* **اکیداً نزولی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً نزولی نیست.
---
### ث) نمودار $y = \log_a x$ (تابع لگاریتمی، $a>1$)
* **اکیداً صعودی:** در کل دامنه، یعنی بازه $(0, +\infty)$.
* **اکیداً نزولی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً نزولی نیست.
---
### ج) نمودار $y = \frac{1}{x}$
* **اکیداً صعودی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً صعودی نیست.
* **اکیداً نزولی:** در بازه $(-\infty, 0)$ و بازه $(0, +\infty)$.
* **توجه:** نمیتوان گفت در اجتماع این دو بازه، یعنی $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$، اکیداً نزولی است، زیرا تابع در $x=0$ تعریف نشده و حتی در حالتی که $x_1 < 0$ و $x_2 > 0$ باشد، ممکن است $f(x_1) < f(x_2)$ باشد.
---
### چ) نمودار $y = |x - 1|$
* **اکیداً صعودی:** در بازه $,1 +\infty)$. $.
---
### ح) نمودار $y = \cos x$
* **اکیداً صعودی:** تابع در بازههایی که مقدار آن در حال افزایش است، صعودی است. در بازه نشان داده شده، اکیداً صعودی در $[-\pi, 0]$.
* (به صورت کلی، در بازههایی مانند $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ که $k \in \mathbb{Z}$).
* **اکیداً نزولی:** تابع در بازههایی که مقدار آن در حال کاهش است، نزولی است. در بازه نشان داده شده، اکیداً نزولی در $[0, \pi]$.
* (به صورت کلی، در بازههایی مانند $,2k\pi ,\pi$ که $k \in \mathbb{Z}$).
---
### خ) نمودار $y = \sqrt{x - 1} + 1$
* **اکیداً صعودی:** در کل دامنه، یعنی بازه $[1, +\infty)$.
* **اکیداً نزولی:** تابع در هیچ بازهای اکیداً نزولی نیست.
